Question

20、學(xué)習(xí)了勾股定理以后，有同學(xué)提出“在直角三角形中，三邊滿足a²+b²=c²，或許其他的三角形三邊也有這樣的關(guān)系”．讓我們來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)!
（1）畫(huà)出任意一個(gè)銳角三角形，量出各邊的長(zhǎng)度（精確到1毫米），較短的兩條邊長(zhǎng)分別是a=

6

mm；b=

8

mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)c=

9

mm．比較=a²+b²

＞

c²（填寫(xiě)“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）畫(huà)出任意的一個(gè)鈍角三角形，量出各邊的長(zhǎng)度（精確到1毫米），較短的兩條邊長(zhǎng)分別是a=

6

mm；b=

8

mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)c=

11

mm．比較a²+b²

＜

c²（填寫(xiě)“＞”，“＜”，或“=”）；
（3）根據(jù)以上的操作和結(jié)果，對(duì)這位同學(xué)提出的問(wèn)題，你猜想的結(jié)論是：

若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²
若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²

，類(lèi)比勾股定理的驗(yàn)證方法，相信你能說(shuō)明其能否成立的理由．

Answer 1

分析：熟悉勾股數(shù)，然后根據(jù)大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，確定第三邊的長(zhǎng)，從而保證三角形的形狀．如取較小的兩邊是6，8，若是直角三角形，則第三邊應(yīng)是10．故要保證它是銳角三角形，只需取9．要保證它是鈍角三角形，只需取11．
證明的時(shí)候，充分運(yùn)用勾股定理結(jié)合完全平方公式即可分析證明．

解答：解：（1）較短的兩條邊長(zhǎng)分別是a=6mm；b=8mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)c=9mm．比較=a²+b²＞c²；

（2）較短的兩條邊長(zhǎng)分別是a=6mm；b=8mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)c=11mm．比較a²+b²＜c²；

（3）若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²；
若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²．
當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，
理由：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，

則有BD=a-x．
根據(jù)勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
所以a²+b²=c²+2ax．
因?yàn)閍＞0，x＞0，所以2ax＞0；所以a²+b²＞c²．
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，
理由：過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D．

設(shè)CD為x，則有BD²=a²-x²，
根據(jù)勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，即a²+b²+2bx=c²．
因?yàn)閎＞0，x＞0，
所以2bx＞0，所以a²+b²＜c²．

點(diǎn)評(píng)：在給定三角形的三邊的時(shí)候，還要注意三角形的三邊關(guān)系．注意勾股定理的熟練運(yùn)用以及完全平方公式的靈活變形．