Question

5、已知n為正整數，且4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一個完全平方數，則n的一個值是

1003或3988

．

Answer 1

分析：本題分兩種情況討論n的取值．把4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸化簡為完全平方式的形式，根據化簡后的式子得出n．

解答：解：（1）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸
=（2⁷）²+2•2⁷•2^2n-8+（2¹⁹⁹⁸）²
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一個完全平方數．
∴2^2n-8=2¹⁹⁹⁸
即2n-8=1998．
∴當n=1003時，4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是完全平方數；

（2）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸=4⁷+4¹⁹⁹⁸+4ⁿ，
=（2⁷）²+2•2⁷•2³⁹⁸⁸+（2ⁿ）²，
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一個完全平方數．
∴2³⁹⁸⁸=2ⁿ，
∴n=3988．
綜上得n=1003或n=3988．

點評：本題考查了完全平方數的概念，如果一個數是一個完全平方數，那么一定可以表示為一個數的平方．