Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，折痕為FG，且BG=10．
求證：四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長(zhǎng)．

Answer 1

證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG=∠BGF，
∵圖形翻折后點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，GF為折線(xiàn)，
∴∠BGF=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=GE，
∵圖形翻折后BG與GE完全重合，
∴BG=GE，
∴EF=BG，
∴四邊形BGEF為平行四邊形，
∴四邊形BGEF為菱形；
過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BG于K，
∴四邊形ABKF是矩形，
∴FK=AB=8，BK=AF，
在Rt△ABF中，AB=8，∠A=90°，BF=BG=10，
∴AF==6，
∴GK=BG-BK=10-6=4，
∴FG==4．
分析：由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易證得△EFG是等腰三角形，即可得EF=BG，又由EF∥BG，即可得四邊形BGEF為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形BGEF為菱形；
過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BG于K，可得四邊形ABKF是矩形，然后根據(jù)勾股定理，即可求得AF的長(zhǎng)，繼而求得FG的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．