Question

如圖1，平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線AB：y=

1

2

x+1分別交x、y軸于點A、B，過點A畫AC⊥AB，且AC=AB，連接BC得△ABC，將△ABC沿x軸正方向平移后得△A′B′C′．
（1）點B的坐標是

（0，1）

，點C的坐標是

（-3，2）

（2）平移后當頂點C′正好落在直線AB上，求平移的距離和點B′的坐標；
（3）如圖2，將△A′B′C′從（2）的位置開始繼續(xù)向右平移，連接OB′、OC′，問當點B′在何位置時，△OB′C′的面積是△ABC面積的

12

5

倍？請你求出點B′的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AB解析式可得出點B的坐標，過點C作CE⊥x軸于點E，求出AE、CE即可得出點C的坐標；
（2）平移后點C的縱坐標不變，將點C縱坐標代入，可求出橫坐標，然后可確定平移距離，繼而得出點B'的坐標．
（3）根據(jù)（1）所求的坐標，可設點B'的坐標為（m，1），點C'坐標（m-3，2），根據(jù)S_△OB'C'=S_梯形BMNC'+S_△OC'N-S_△OB'M=

12

5

×S_△ABC，可得出關于m的方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）∵直線AB解析式為：y=

1

2

x+1，
∴點B的坐標為（0，1），點A的坐標為（-2，0），
過點C作CE⊥x軸于點E，
則AC=AB=

OB2+OA2

=

5

，
∵∠ACE=∠BAO（同角的余角相等，都是∠CAE的余角），
∴sin∠ACE=sin∠BAO=

BO

AB

=

5

5

，
∴AE=1，CE=2，
∴點C的坐標為（-3，2）．
（2）∵點C在直線y=

1

2

x+1上，點C'的縱坐標為2，
∴

1

2

x+1=2，
解得：x=2，即可得點C'的坐標為（2，2），
則平移距離=2-（-3）=5，點B'的坐標為（5，1）．
（3）過點B'作B'M⊥x軸于點M，過點C'作C'N⊥x軸于點N，
S_△ABC=

1

2

AC×AB=

5

2

，
設點B'的坐標為（m，1），點C'坐標（m-3，2），
S_△OB'C'=S_{梯形B′MNC}'+S_△OC'N-S_△OB'M=

1

2

×（1+2）×3+

1

2

（m-3）×2-

1

2

m×1=

1

2

m+

3

2

，
∵△OB′C′的面積是△ABC面積的

12

5

倍
∴

1

2

m+

3

2

=

12

5

×

5

2

，
解得：m=9，
故可得點B'的坐標為（9，1）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，注意學會點的坐標與線段長度之間的轉(zhuǎn)化，要求能根據(jù)直線解析式確定點的坐標，在第三問的求解中，關鍵是利用差值法表示出△OB'C'的面積，此題難度較大，注意一步一步的分析．