Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)D作直線DM，使∠BDM=∠DAC． （Ⅰ）求證：直線DM是⊙O的切線；
（Ⅱ）求證：DE2=DFDA．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖所示，連接OD， ∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直線DM是⊙O的切線；
（Ⅱ）如圖所示，連接BE，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DFDA，
∴DE2=DFDA．


【解析】（Ⅰ）根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC，再根據(jù)∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，進(jìn)而得到OD⊥DM，據(jù)此可得直線DM是⊙O的切線； （Ⅱ）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DFDA，據(jù)此可得DE2=DFDA．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了垂徑定理和圓周角定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半才能正確解答此題．