Question

如圖（1），直線y=-

1

2

x+2交x軸、y軸于A、B兩點，C為直線AB上第二象限內(nèi)一點，且S_△AOC=8，雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點C

①求k的值；
②如圖（2），過點C作CM⊥y軸于M，反向延長CM于H，使CM=CH，過H作HN⊥x軸于N，交雙曲線y=

k

x

于D，求四邊形OCHD的面積；
③如圖（3），點G和點A關(guān)于y軸對稱，P為第二象限內(nèi)雙曲線上一個動點，過P作PQ⊥x軸于Q，分別交線段BG于E，交射線BC于F，試判斷線段QE+QF是否為定值？若為定值，證明并求出定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線的解析式求出A點的坐標(biāo)，求出OA的值，作GR⊥x軸于R，由△AOC的面積求出CR的值，進而求出C點的縱坐標(biāo)，代入直線解析式求出C點的坐標(biāo)，就可以求出雙曲線的解析式，從而求出k的值．
（2）由C點的坐標(biāo)可以求出CM=CH的值和OM的值，可以求出S_△MCO=S_△HCO=S_△DNO，求出矩形的面積，進而可以求出四邊形OCHD的面積；
（3）由條件求出G點的坐標(biāo)和B點的坐標(biāo)，從而求出直線GB的解析式，設(shè)出P點的坐標(biāo)，表示出QE、QF的值就可以求出QE+QF的值的情況，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵直線y=-

1

2

x+2交x軸、y軸于A、B兩點，
∴當(dāng)x=0時，y=2，y=0時，x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∴OA=4．
作GR⊥x軸于R，且S_△AOC=8，
∴

1

2

×4CR=8，
∴CR=4，
∴4=-

1

2

x+2
∴x=-4，
∴C（-4，4），
∴4=

k

-4

，
∴k=-16，
∴雙曲線的解析式為：y=-

16

x

（2）∵C（-4，4），CM⊥y軸，CM=CH，
∴CM=CN=4，OM=4，
∴S_△MCO=S_△HCO=S_△DNO=

1

2

×4×4=8，
∴S_△HOM=16，
∴S_矩形HNOM=32，
∴S_{四邊形OCHD}=16．

（3）QE+QF=4，是定值．
理由：∵點G和點A關(guān)于y軸對稱，
∴G（-4，0），設(shè)直線GB的解析式為y=kx+b，則有

0=-4k+b 2=b

，
解得

k= 1 2 b=2

，
∴y=

1

2

x+2．
設(shè)P（a，b），則有QE=

1

2

a+2，QF=-

1

2

a+2，
∴QE+QF=4
∴QE+QF=4，是定值．

點評：本題是一道反比例函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、直線的解析式，三角形的面積及矩形的面積，直線的解析式的運用及線段和的定值問題等多個知識點．