Question

學(xué)校計(jì)劃用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形廣場的地面ABCD，已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米．圖案設(shè)計(jì)如圖所示：廣場的四角為小正方形，陰影部分為四個(gè)矩形，四個(gè)矩形的寬都為小正方形的邊長，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚．
（1）要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，那么矩形廣場四角的小正方形的邊長為多少米？
（2）如果鋪白色地面磚的費(fèi)用為每平方米30元．鋪綠色地面磚的費(fèi)用為每平方米20元，當(dāng)廣場四角小正方形的邊長為多少米時(shí)，鋪廣場地面的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據(jù)等量關(guān)系“白色地板磚的面積=4個(gè)小正方形的面積+中間矩形的面積”列出一元二次方程求解即可；
（2）設(shè)鋪矩形廣場地面的總費(fèi)用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據(jù)等量關(guān)系“總費(fèi)用=鋪白色地面磚的費(fèi)用+鋪綠色地面磚的費(fèi)用”列出y關(guān)于x的函數(shù)，求得最小值．
解答：解：（1）設(shè)矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據(jù)題意，得：
4x²+（100-2x）（80-2x）=5200
整理，得：x²-45x+350=0（3分）
解之，得：x₁=35，x₂=10，
∴要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，則矩形廣場四角的小正方形的邊長為10米或35米．

（2）設(shè)鋪矩形廣場地面的總費(fèi)用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，則，
y=30×[4x²+（100-2x）（80-2x）]+20×[2x（100-2x）+2x（80-2x）]
即：y=80x²-3600x+240000
配方得，y=80（x-22.5）²+199500
當(dāng)x=22.5時(shí)，y的值最小，最小值為199500．
∴當(dāng)矩形廣場四角的小正方形的邊長為22.5米時(shí)，所鋪廣場地面的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為199500元．
點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問考查了通過二次方程解決實(shí)際問題的能力；第（2）問考查了根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)最值的能力．