學校計劃用地面磚鋪設教學樓前矩形廣場的地面ABCD,已知矩形廣場地面的長為100米,寬為80米.圖案設計如圖所示:廣場的四角為小正方形,陰影部分為四個矩形,四個矩形的寬都為小正方形的邊長,陰影部分鋪綠色地面磚,其余部分鋪白色地面磚.
(1)要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米,那么矩形廣場四角的小正方形的邊長為多少米?
(2)如果鋪白色地面磚的費用為每平方米30元.鋪綠色地面磚的費用為每平方米20元,當廣場四角小正方形的邊長為多少米時,鋪廣場地面的總費用最少?最少費用是多少?

【答案】分析:(1)設矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米,根據等量關系“白色地板磚的面積=4個小正方形的面積+中間矩形的面積”列出一元二次方程求解即可;
(2)設鋪矩形廣場地面的總費用為y元,廣場四角的小正方形的邊長為x米,根據等量關系“總費用=鋪白色地面磚的費用+鋪綠色地面磚的費用”列出y關于x的函數(shù),求得最小值.
解答:解:(1)設矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米,根據題意,得:
4x2+(100-2x)(80-2x)=5200
整理,得:x2-45x+350=0(3分)
解之,得:x1=35,x2=10,
∴要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米,則矩形廣場四角的小正方形的邊長為10米或35米.

(2)設鋪矩形廣場地面的總費用為y元,廣場四角的小正方形的邊長為x米,則,
y=30×[4x2+(100-2x)(80-2x)]+20×[2x(100-2x)+2x(80-2x)]
即:y=80x2-3600x+240000
配方得,y=80(x-22.5)2+199500
當x=22.5時,y的值最小,最小值為199500.
∴當矩形廣場四角的小正方形的邊長為22.5米時,所鋪廣場地面的總費用最少,最少費用為199500元.
點評:本題第(1)問考查了通過二次方程解決實際問題的能力;第(2)問考查了根據函數(shù)解析式求函數(shù)最值的能力.
練習冊系列答案
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