Question

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圓O的直徑，BD交AC于點(diǎn)E，連接DC．
（1）求∠DBC的度數(shù)；
（2）若C為弧BD的中點(diǎn)，BC=6，EC=5，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理、補(bǔ)角的定義求得弧CD所對(duì)的圓心角∠DOC=80°；然后根據(jù)”同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半“來(lái)求∠DBC的度數(shù)；
（2）根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系和圓周角定理證得△BCD為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理和圓的性質(zhì)求得OB=OD=BD=6；然后在直角△EOC中，利用勾股定理求得OE=；最后根據(jù)相交弦定理來(lái)求AE的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠BAC=2∠A=100°（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）．
∴∠COD=80°，
∴∠DBC=∠DOC=40°，即∠DBC的度數(shù)是40°；

（2）∵BD是直徑，
∴∠BCD=90°．
又∵C為弧BD的中點(diǎn)，
∴BC=DC，
則在等腰直角△BCD中，BC=6，BD=6，OC=OB=BD=3，
∴在直角△EOC中，EC=5，根據(jù)勾股定理知OE===，
∴BE=OB+OE=3+，DE=OD-OE=3-，
∵AE•EC=DE•BE，
∴AE===，即AE的長(zhǎng)為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦間的關(guān)系等．解答（2）題時(shí)，也可以利用△ABE∽DCE的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求AE的長(zhǎng)度．