Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．

(1)求證：四邊形EFGH是正方形；

(2)若AD＝2，BC＝4，求四邊形EFGH面積．

Answer 1

 (1)證明：在△ABC中，∵E、F分別是AB、BC的中點，

∴EF＝AC，EF∥AC.(2分)

同理FG＝BD，FG∥BD，GH＝AC，HE＝BD.

在梯形ABCD中，∵AB＝DC，∴AC＝BD.∴EF＝FG＝GH＝HE.

∴四邊形EFGH是菱形．(4分)

∵EF∥AC，AC⊥BD，FG∥BD，∴EF⊥FG，

∴∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是正方形．(6分)

(2)如圖，連接EG.在梯形ABCD中，

∵E、G分別是AB、DC的中點，

∴EG＝(AD＋BC)＝3.(8分)

在Rt△EHG中，

∵EH²＋GH²＝EG²，EH＝GH，

∴EH²＝，

即四邊形EFGH的面積為.(12分)