Question

如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交 CE于點G，連接BE．下列結(jié)論中：
①CE=BD；  ②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；    ④CD=EF．
一定正確的結(jié)論有（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：①利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四邊形的性質(zhì)可得AE=CD，再結(jié)合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS證明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④由②△ADC是等腰直角三角形和四邊形ACDE是平行四邊形，可得EF=CF，AF=DF，所以得△CFD為等腰直角三角形且∠CFD=90°，即得CD≠CF，即CD≠EF．

解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∴故①正確；
②∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE都是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴②正確；
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，
∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，
又AB=AB，AD=AE，
∴△BAE≌△BAD（SAS），
∴∠ADB=∠AEB；
故③正確；
④已知四邊形ACDE是平行四邊形，
∴EF=CF，AF=DF，
又證得②△ADC是等腰直角三角形，
∴△CFD為等腰直角三角形且∠CFD=90°，
∴CD≠CF，即CD≠EF，
故④CD=EF錯誤；
所以一定正確的結(jié)論有①②③，
故選A．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意細心分析，熟練應(yīng)用全等三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．