Question

（2005•梅州）已知，如圖（甲），正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個動點(diǎn)，P不運(yùn)動到M和C，以AB為直徑做⊙O，過點(diǎn)P作⊙O的切線交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．
（1）求四邊形CDFP的周長；
（2）試探索P在線段MC上運(yùn)動時，求AF•BP的值；
（3）延長DC、FP相交于點(diǎn)G，連接OE并延長交直線DC于H（如圖乙），是否存在點(diǎn)P，使△EFO∽△EHG？如果存在，試求此時的BP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，將所求四邊形CDFP的邊轉(zhuǎn)化為已知正方形ABCD的邊，即可求得；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，將所求AF，BP轉(zhuǎn)化為直角△FOP的斜邊FP，再由直角三角形的性質(zhì)OE²=EF•EP，即可求得；
（3）要△EFO∽△EHG，必須∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的長．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴AF、BP都是⊙O的切線
又∵PF是⊙O的切線
∴FE=FA，PE=PB
∴四邊形CDFP的周長為AD+DC+CB=2×3=6；

（2）連接OE，
∵PF是⊙O的切線
∴OE⊥PF
在Rt△AOF和Rt△EOF中
∵AO=EO，OF=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EOF
∴∠AOF=∠EOF
同理∠BOP=∠EOP
∴∠EOF+∠EOP=180°=90°，∠FOP=90°
即OF⊥OP
∴AF•BP=EF•PE=OE²=1；

（3）存在．
當(dāng)∠G=30°時．∠GFD=60°．
∵∠EOF=∠AOF
∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF
∴當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG
此時∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°
∴BP=OB•tan60°=．
點(diǎn)評：此題將正方形與圓結(jié)合，考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．并多次運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)．