【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,O點在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線,與AB的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△PBD∽△DCA;
(3)當AB=6,AC=8時,求線段PB的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)PB=.
【解析】試題分析:(1)由直徑所對的圓周角為直角得到∠BAC為直角,再由AD為角平分線,得到一對角相等,根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角,與平行線中的一條垂直,與另一條也垂直得到OD與PD垂直,即可得證;
(2)由PD與BC平行,得到一對同位角相等,再由同弧所對的圓周角相等及等量代換得到∠P=∠ACD,根據同角的補角相等得到一對角相等,利用兩對角相等的三角形相似即可得證;
(3)由三角形ABC為直角三角形,利用勾股定理求出BC的長,再由OD垂直平分BC,得到DB=DC,根據(2)的相似,得比例,求出所求即可.
試題解析:(1)證明:∵圓心O在BC上,∴BC是圓O的直徑,∴∠BAC=90°,連接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠DAC,∵∠DOC=2∠DAC,∴∠DOC=∠BAC=90°,即OD⊥BC,∵PD∥BC,∴OD⊥PD,∵OD為圓O的半徑,∴PD是圓O的切線;
(2)證明:∵PD∥BC,∴∠P=∠ABC,∵∠ABC=∠ADC,∴∠P=∠ADC,∵∠PBD+∠ABD=180°,∠ACD+∠ABD=180°,∴∠PBD=∠ACD,∴△PBD∽△DCA;
(3)解:∵△ABC為直角三角形,∴BC2=AB2+AC2=62+82=100,∴BC=10,∵OD垂直平分BC,∴DB=DC,∵BC為圓O的直徑,∴∠BDC=90°,在Rt△DBC中,DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=100,∴DC=DB=,∵△PBD∽△DCA,∴,則PB===.
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【題目】觀察下列一組圖形中的個數,其中第1個圖中共有4個點,第2個圖中共有10個點,第3個圖中共有19個點,……,按此規(guī)律第5個圖中共有點的個數是( )
A. 31 B. 46 C. 51 D. 66
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【題目】某商店準備銷售甲、乙兩種商品共80件,已知甲種商品進貨價為每件70元,乙種商品進貨價為每件35元,在定價銷售時,2件甲種商品與3件乙種商品的售價相同,3件甲種商品比2件乙商品的售價多150元.
(1)每件甲商品與每件乙商品的售價分別是多少元?
(2)若甲、乙兩種商品的進貨總投入不超過4200元,則至多進貨甲商品多少件?
(3)若這批商品全部售完,該商店至少盈利多少元?
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【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點E在邊AD上(不與點A、D重合),∠CEB=45°,EB與對角線AC相交于點F,設DE=x.
(1)用含x的代數式表示線段CF的長;
(2)如果把△CAE的周長記作C△CAE,△BAF的周長記作C△BAF,設=y,求y關于x的函數關系式,并寫出它的定義域;
(3)當∠ABE的正切值是時,求AB的長.
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【題目】如圖,已知二次函數的圖象經過點A(3,3)、B(4,0)和原點O.P為二次函數圖象上的一個動點,過點P作x軸的垂線,垂足為D(m,0),并與直線OA交于點C.
(1)求直線OA和二次函數的解析式;
(2)當點P在直線OA的上方時,
①當PC的長最大時,求點P的坐標;
②當S△PCO=S△CDO時,求點P的坐標.
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【題目】某商場購進甲、乙兩種商品,甲種商品共用了20000元,乙種商品共用了24000元.已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元,且購進的甲、乙兩種商品件數相同.
(1)求甲、乙兩種商品的每件進價;
(2)該商場將購進的甲、乙兩種商品進行銷售,甲種商品的銷售單價為60元,乙種商品的銷售單價為88元,銷售過程中發(fā)現甲種商品銷量不好,商場決定:甲種商品銷售一定數量后,將剩余的甲種商品按原銷售單價的七折銷售;乙種商品銷售單價保持不變.要使兩種商品全部售完后共獲利不少于24600元,問甲種商品按原銷售單價至少銷售多少件?
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【題目】在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F是對角線AC上的兩個動點,分別從A,C同時出發(fā)相向而行,速度均為1cm/s,運動時間為t秒,0≤t≤5.
(1)AE=________,EF=__________
(2)若G,H分別是AB,DC中點,求證:四邊形EGFH是平行四邊形.(相遇時除外)
(3)在(2)條件下,當t為何值時,四邊形EGFH為矩形.
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【題目】一名足球守門員練習折返跑,從球門的位置出發(fā),向前記作正數,返回記作負數,他的記錄如下(單位:米):
+6 | - 5 | +9 | - 10 | +13 | - 9 | - 4. |
(1)守門員是否回到了原來的位置?
(2)守門員離開球門的位置最遠是多少?
(3)守門員一共走了多少路程?
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