Question

定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]的函數(shù)的一些結(jié)論：
①當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，4）； 
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于

3

2

；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＜

1

4

時(shí)，y隨x的增大而增大；
④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)．  
其中正確的結(jié)論有

②③④

．（只需填寫序號(hào)）

Answer 1

分析：①把m=-1代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；
②令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題；
③首先求得對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
④根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可；

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]；
①、當(dāng)m=-1時(shí)，y=-2x²+2x=-2（x-

1

2

）²+

1

2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，

1

2

）；此結(jié)論錯(cuò)誤；
②、當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得：x₁=1，x₂=-

1

2

-

1

2m

，
|x₂-x₁|=

3

2

+

1

2m

＞

3

2

，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于

3

2

，此結(jié)論正確；
③當(dāng)m＜0時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：

m-1

4m

，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減�。�因?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，

m-1

4m

=

1

4

-

1

4m

＞

1

4

，即對(duì)稱軸在x=

1

4

右邊，因此函數(shù)在x=

1

4

右邊先遞增到對(duì)稱軸位置，再遞減，此結(jié)論正確；
④當(dāng)x=1時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對(duì)任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）那么同樣的：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），故當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)此結(jié)論正確．
根據(jù)上面的分析，②③④都是正確的，①是錯(cuò)誤的．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．