Question

已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，-1）和C（0，-1），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），直線x=m（m＞0）與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第一象限內(nèi)，直線x上是否存在點(diǎn)P，使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△OBC全等？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的情況下，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，四邊形AOPQ能否為平行四邊形？若能，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式．
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論，由（1）不難得出A、B的坐標(biāo)為（-1，0），（2，0）．那么如果要使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△OBC全等，△PBD也必為直角三角形且以PB為斜邊．
①當(dāng)△PBD≌△BCO時(shí)，BD=OC=1，PD=OB=2，據(jù)此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)△PBD≌△CBO時(shí)，BO=BD=2，PD=OC=1，據(jù)此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如果四邊形AOPQ為平行四邊形，那么PQ平行且相等于OA，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)向坐標(biāo)平移1個(gè)單位就是Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可判斷出Q點(diǎn)是否在拋物線上．

解答：解：（1）依題意，有：

1 2 +b+c=-1 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-1．

（2）易知：A（-1，0），B（2，0），C（0，-1）；
∴OB=2，OC=1
①△PBD≌△BCO，BD=OC=1，PD=OB=2
∴OD=3，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）．
②△PBD≌△CBO，BO=BD=2，PD=OC=1，
∴OD=4，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）．

（3）∵四邊形AOPQ為平行四邊形，
∴PQ∥=OA
①當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

×2²-

1

2

×2-1=0，
因此這個(gè)Q點(diǎn)不在拋物線上．
②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．
當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

2

×3²-

1

2

×3-1=2
因此Q點(diǎn)不在拋物線上．
綜上所述，不存在符合條件的Q點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．