Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（4，3），動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，當(dāng)兩動點運動了t秒時．
（1）P點的坐標(biāo)為______（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）記△MPA的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜4）；
（3）當(dāng)t=______秒時，S有最大值，最大值是______；
（4）若點Q在y軸上，當(dāng)S有最大值且△QAN為等腰三角形時，求直線AQ的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形CPN中，根據(jù)CP的長和∠BPA的三角函數(shù)值求出CN、PN的長，即可表示出P點的坐標(biāo)；
（2）三角形MPA中，MA的長易得出，MA上的高就是P點的縱坐標(biāo)，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系可得出S的最大值，及對應(yīng)的t的值；
（4）本題要分三種情況進行討論：①Q(mào)N=NA；②AQ=AN；③QN=AQ；可設(shè)Q點的坐標(biāo)，然后表示出NQ、NA、QA的長，根據(jù)上述三種情況中不同的等量關(guān)系可求出不同的Q點坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線AQ的解析式．
解答：解：（1）（4-t，）；

（2）S=-t²+t（0＜t＜4）；

（3）由（2）知：S=-t²+t=-（t-2）²+，
因此當(dāng)t=2時，S_max=；

（4）由（3）知，當(dāng)S有最大值時，t=2，此時N在BC的中點處，如圖，
設(shè)Q（0，y），
∵△AOQ是直角三角形，
∴AQ²=16+y²，QN²=4+（3-y）²，AN²=13，
∵△QAN為等腰三角形，
①若AQ=AN，此時方程無解，
②若AQ=QN，解得y=，
③若QN=AN，解得y₁=0，y₂=6，
∴Q₁（0，），Q₂（0，0），Q₃（0，6），
當(dāng)Q為（0，），直線AQ的解析式為y=，
當(dāng)Q為（0，0）時，A（4，0）、Q（0，0）均在x軸上，
直線AQ的解析式為y=0（或直線為x軸），
當(dāng)Q為（0，6）時，Q、N、A在同一直線上，△ANQ不存在，舍去，
故直線AQ的解析式為y=或y=0．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圖形面積的求法及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．要注意（4）題在不確定等腰三角形的腰和底的情況下，要分類討論，不要漏解．