Question

如圖，拋物線y＝＋bx＋c的頂點(diǎn)為C（0，－），與x軸交于點(diǎn)A、B，連接AC、BC，得等邊△ABC. T點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)S從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，TS交射線BC于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)T到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)S停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)△TSC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（3）以點(diǎn)T為圓心，TB為半徑的圓與射線BC交于點(diǎn)E，試說明：在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過程中，線段ED的長是一定值，并求出該定值.

 

Answer 1

⑴y=x²-，⑵當(dāng)0＜t＜1，S_ΔTCS=；當(dāng)1＜t＜2，S_ΔTCS=

（3）1

解析:（1）∵y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)是（0，-），

∴拋物線的對稱軸是y軸，

∴b=0，故可設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²-,------------1分

又∵三角形ABC是等邊三角形，且有CO⊥AB，CO=

∴AO=1，∴A（-1,0）-------------2分

把點(diǎn)A代入y=ax²-，得a=

∴拋物線的解析式是y=x²-.-----------3分

（2）當(dāng)0＜t＜1，S_ΔTCS=；------------4分

當(dāng)1＜t＜2，S_ΔTCS=，------------5分

（3）當(dāng)0＜t＜1，（如圖1）過D作DH⊥y軸，顯然有TB=TE，又∠B=60度，

∴三角形TBE為等邊三角形，

∴BE=TB=t，

∵ΔSDH∽ΔSTO，設(shè)DH=a，

則有，即，

∴a=，∴DC=1-t，------------------7分

∴DE=CB-EB-DC=2-t-(1-t)=1.------ -------------8分

當(dāng)1＜t＜2，（如圖2）

同理，ΔSDH∽ΔSTO，即有，a=，DC=t-1，

∴DE=DC+CE=t-1+(2-t)=1. ---------------10分

圖1                 圖2

（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)和等邊三角形，求出拋物線的解析式（2）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜2兩種情況表示（3）如圖1、2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求證