Question

如圖，拋物線y＝＋bx＋c的頂點為C（0，－），與x軸交于點A、B，連接AC、BC，得等邊△ABC. T點從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點A運動，同時點S從點C出發(fā)，以每秒個單位的速度向y軸負方向運動，TS交射線BC于點D，當點T到達A點時，點S停止運動. 設(shè)運動時間為t秒.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)△TSC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（3）以點T為圓心，TB為半徑的圓與射線BC交于點E，試說明：在點T運動的過程中，線段ED的長是一定值，并求出該定值.

 

Answer 1

【答案】

⑴y=x²-，⑵當0＜t＜1，S_ΔTCS=；當1＜t＜2，S_ΔTCS=

（3）1

【解析】（1）∵y=ax²+bx+c的頂點是（0，-），

∴拋物線的對稱軸是y軸，

∴b=0，故可設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²-,------------1分

又∵三角形ABC是等邊三角形，且有CO⊥AB，CO=

∴AO=1，∴A（-1,0）-------------2分

把點A代入y=ax²-，得a=

∴拋物線的解析式是y=x²-.-----------3分

（2）當0＜t＜1，S_ΔTCS=；------------4分

當1＜t＜2，S_ΔTCS=，------------5分

（3）當0＜t＜1，（如圖1）過D作DH⊥y軸，顯然有TB=TE，又∠B=60度，

∴三角形TBE為等邊三角形，

∴BE=TB=t，

∵ΔSDH∽ΔSTO，設(shè)DH=a，

則有，即，

∴a=，∴DC=1-t，------------------7分

∴DE=CB-EB-DC=2-t-(1-t)=1.------ -------------8分

當1＜t＜2，（如圖2）

同理，ΔSDH∽ΔSTO，即有，a=，DC=t-1，

∴DE=DC+CE=t-1+(2-t)=1. ---------------10分

圖1                  圖2

（1）利用頂點坐標和等邊三角形，求出拋物線的解析式（2）當0＜t＜1時，當1＜t＜2兩種情況表示（3）如圖1、2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求證