Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE，AB相交于點(diǎn)G，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

1. A.
   ②④
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①③④

Answer 1

D
分析：根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，再得出EF⊥AC，從而得到答案．
解答：∵△ACE是等邊三角形
∴∠EAC=60°，AE=AC
∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F為AB的中點(diǎn)
∴AB=2AF
∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA
∴∠AEF=∠BAC=30°
∴①EF⊥AC（含①的只有B和D，它們的區(qū)別在于有沒(méi)有④．它們都是含30°的直角三角形，并且斜邊是相等的）
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：解決本題需先根據(jù)已知條件先判斷出一對(duì)全等三角形，然后按排除法來(lái)進(jìn)行選擇．