Question

如圖，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形．
（1）當AC、CD、DB滿足怎樣的關系時，△ACP∽△PDB；
（2）當△ACP∽△PDB時，求∠APB的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△ACP∽△PDB的對應邊成比例和等邊三角形的性質可以找到AC、CD、DB的關系；
（2）利用相似三角形的性質對應角相等和等邊三角形的性質可以求出∠APB的度數．
解答：解：（1）當CD²=AC•DB時，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD²=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即=，
則根據相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB

（2）當△ACP∽△PDB時，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度數為120°．
點評：此題是開放性試題，要熟練運用相似三角形的性質和等邊三角形的性質．