Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于點E，過點B作⊙O的切線交DA的延長線于點F，且∠ABF=∠ABC．

（1）求證：AB=AC；

（2）若AD=4，cos∠ABF= ，求DE的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）由BF是⊙O的切線，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可證得∠2=∠C，即可得AB=AC。

（2）。

【解析】

分析：（1）由BF是⊙O的切線，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可證得∠2=∠C，即可得AB=AC。

（2）連接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的長度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的長度；最后利用DE=AD﹣AE求得結(jié)果。

解：（1）證明：∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=∠C。

∵∠ABF=∠ABC，∴∠ABC=∠C。

∴AB=AC。

（2）如圖，連接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，

∵，∴。

∴AB=3。

在Rt△ABE中，∠BAE=90°，

∵，∴。

∴。

∴。