Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C、D為圓周上兩點(diǎn)，且四邊形OBCD是菱形，過(guò)點(diǎn)D的直線EF∥AC，交BA、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；
（2）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形OBCD為菱形得到OD與BC平行，根據(jù)O為AB的中點(diǎn)，得到G為AC的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到OD與AC垂直，再由EF與AC平行，利用與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到EF與OD垂直，即可得到EF為圓O的切線；
（2）由四邊形OBCD為菱形得到四邊相等，再由OG為三角形ABC的中位線得到OG等于半徑的一半，確定出G為OD的中點(diǎn)，再由AC與EF平行得到A為OE的中點(diǎn)，即AG等于ED的一半，在直角三角形AOG中，由OA與OG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，由DE=2AG即可求出DE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）EF為圓O的切線，理由為：
∵四邊形OBCD為菱形，
∴OD∥BC，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴G為AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∵AC∥EF，
∴OD⊥EF，
則EF與圓O相切；

（2）∵四邊形OBCD為菱形，
∴OD=OB=BC=CD=2，
∵OG為△ABC的中位線，
∴OG=BC=1，即OG=OD，
∴G為OD的中點(diǎn)，
∵AC∥EF，
∴A為OE的中點(diǎn)，即AG為△OED的中位線，
∴AG=DE，
在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AG==，
則DE=2AG=2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，以及垂徑定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．