Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（12，0），動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，作等邊△PMN，點(diǎn)M，N在x軸上．

1.當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合．

2.求點(diǎn)P坐標(biāo)和等邊△PMN的邊長（用t的代數(shù)式表示）．

3.如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在△AOB內(nèi)部作如圖②所示的矩形ODEF，點(diǎn)E在線段AB上．設(shè)等邊△PMN和矩形ODEF重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出當(dāng)秒時(shí)S與的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

 

Answer 1

 

1.（1）如圖①，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABO=30°，∠BAO=60°．由OB=12，∴AB=8，AO=4．

∵△PON是等邊三角形，∴∠PON=60°．∴∠AOP=60°．∴AO=2AP，即4=2t．解得t=2．∴當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合．

2.（2）如圖②，過P分別作PQ⊥OA于點(diǎn)Q，PS⊥OB于點(diǎn)S．

可求得AQ=AP=，PS=QO=4－．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，4－）．       ………………6分

在Rt△PMS中，sin60°=，

∴PM=（4－）÷=8－t．

3.（3）（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，見圖③．

設(shè)PN交EF于點(diǎn)G，則重疊部分為直角梯形FONG，作GH⊥OB于點(diǎn)H．

∵∠GNH＝60°，GH=2，∴HN=2．∵M(jìn)P=8－t，∴BM=2MP=16－2t．

∴OM=BM－OB=16－2t－12=4－2t．∴ON=MN－OM=8－t－（4－2t）=4＋t．

∴FG=OH=ON－HN=4＋t－2=2＋t． ∴S=(2＋t＋4＋t)×2=2t＋6．

∵S隨t的增大而增大，∴當(dāng)t=1時(shí)，S_最大=8．…10分

（Ⅱ）當(dāng)1＜t≤2時(shí)，見圖④．設(shè)PM交EF于點(diǎn)I，交FO于點(diǎn)Q，PN交EF于點(diǎn)G．

重疊部分為五邊形OQIGN．

OQ=4－2t，F(xiàn)Q=2－(4－2t)= 2t－2，

FI=FQ=2t－2．

∴三角形QFP的面積=(2t－2)(2t－2)=2(t²－2t＋1)．

由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面積=2t＋6，

∴S=2t＋6－2(t²－2t＋1)=－2(t²－3t－2)．

∵－2＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，S_最大=．

綜上所述：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=2t＋6；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=－2t²＋6t＋4；

∵＞8，∴S的最大值是．

            

解析:略