Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△DCM的周長最小時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，∴，

∴拋物線的解析式為．

∵，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為． 

（2）△ABC是直角三角形．當(dāng)時，，∴，則．

當(dāng)時，，∴，則．

 ∴,,  ∴．
∵,,,

∴,  

∴△ABC是直角三角形． 

（3）作出點(diǎn)C關(guān)于軸的對稱點(diǎn)C′，則．

連接C′D交軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，CD一定，當(dāng)MC+MD的值最小時，△CDM的周長最小．  

設(shè)直線C′D的解析式為，則：

則，解得，

∴   當(dāng)時，，則，

∴．