Question

已知拋物線C₁：y=（x+1）²-4的頂點(diǎn)為P，與x軸的交點(diǎn)為A、B（A左B右），將拋物線C₁關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換，再將變換后的拋物線沿y軸的正方向、x軸的正方向都平移．m個(gè)單位（m＞l），得到拋物線C₂，拋物線C₂的頂點(diǎn)為Q．

（1）求m=3時(shí)，拋物線C₂的解析式；
（2）根據(jù)下列條件分別求m：
①如圖1，若PQ正好被y軸平分，求m的值；
②如圖2，若PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求m的值．
（3）如圖3，若拋物線C₂的頂點(diǎn)Q關(guān)于直線PA的對(duì)稱點(diǎn)Q′恰好落在x軸上，試求m的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C₁：y=（x+1）²-4的頂點(diǎn)為P，將拋物線C₁關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換，

∴對(duì)稱圖象解析式為：y=-（x+1）²+4，

∵再將變換后的拋物線沿y軸的正方向、x軸的正方向都平移．m個(gè)單位（m＞l），得到拋物線C₂，m=3，

∴拋物線C₂的解析式為：y=-（x-2）²+7；



（2）①∵Q（m-1，m+4），P（-1，-4），PQ被y軸平分，

∴x_Q+x_P=0，

∴m-1=1，
解得：m=2；

②過點(diǎn)P，Q分別作y軸的垂線，垂足分別為：E，F(xiàn)，

∵∠QFO=∠PEO，∠FOQ=∠POE，
∴△OPE∽△OFQ，

∴==4，

∴OF=4FQ，

∴m+4=4（m-1），
解得：m=；



（3）由P（-1，-4），A（-3，0）設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b，

，

解得：，

∴直線PA的解析式為：y=-2x-6，

∴直線PA與y軸交點(diǎn)為：（0，-6）．
設(shè)Q關(guān)于PA的對(duì)稱點(diǎn)為Q′，

則∠QQ′O=∠AMO，

∴tan∠QQ′O=tan∠AMO===，

過Q作QH⊥x軸于H，

則OH=m-1，QH=m+4，Q′H=2m+8，AH=3+（m-1）=m+2，

∴AQ′=2m+8-（m+2）=m+6，

∴AQ=AQ′=m+6，

在Rt△QAH中，AQ²=AH²+QH²，

∴（m+6）²=（m+2）²+（m+4）²，
解得：m₁=-4（舍去），m₂=4．
分析：（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式a，b，c符號(hào)相反，進(jìn)而根據(jù)將變換后的拋物線沿y軸的正方向、x軸的正方向都平移3個(gè)單位，求出答案即可；
（2）①根據(jù)Q（m-1，m+4），P（-1，-4），PQ被y軸平分，得出x_Q+x_P=0，進(jìn)而求出即可；
②首先得出△OPE∽△OFQ，進(jìn)而得出==4，求出即可；
（3）首先求出直線PA的解析式，利用對(duì)稱性得出tan∠QQ′O=tan∠AMO===，再利用AQ²=AH²+QH²，求出m的值即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．