Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP垂直x軸于點(diǎn)P，連接AC交NP于Q，連接MQ．
（1）點(diǎn)______（填M或N）能到達(dá)終點(diǎn)；
（2）求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；
（3）是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（BC÷點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度）與（OA÷點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度）可知點(diǎn)M能到達(dá)終點(diǎn)．
（2）經(jīng)過(guò)t秒時(shí)可得NB=y，OM-2t．根據(jù)∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)t的值求出S的最大值．
（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．
解答：解：（1）點(diǎn)M．（1分）

（2）經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t，
∵A（4，0），C（0，4），
∴AO=CO=4，
∵∠AOC=90°，
∴∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t
∴PQ=1+t，（2分）
∴S_△AMQ=AM•PQ=（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．（3分）
∴S=-t²+t+2=-t²+t-++2=-（t-）²+，（5分）
∵0≤t＜2
∴當(dāng)時(shí)，S的值最大．（6分）

（3）存在．（7分）
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t
則CN=3-t，AM=4-2t
∴∠BCA=∠MAQ=45°（8分）
①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高
∴PQ是底邊MA的中線
∴PQ=AP=MA
∴1+t=（4-2t）
∴t=
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）（10分）
②若∠QMA=90°，此時(shí)QM與QP重合
∴QM=QP=MA
∴1+t=4-2t
∴t=1
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，考生還需注意的是要學(xué)會(huì)全面分析問(wèn)題的可行性繼而解答．