Question

(本題8分)已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．

【小題1】（1）求證：EG=CG；
【小題2】（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45º，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．
【小題3】（3）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．     
（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線(xiàn)段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（本小問(wèn)均不要求證明）

Answer 1

【小題1】（1）證明：在Rt△FCD中，
∵G為DF的中點(diǎn)，∴ CG=FD．同理，在Rt△DEF中，   
EG=FD．   ………………1分
∴ CG=EG．…………………2分
【小題2】（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．…………………………3分
連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N點(diǎn)．
在△DAG與△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．………………………4分
在△DMG與△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN． ……………5分
在Rt△AMG與Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG． 
【小題3】（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG．……7分
其他的結(jié)論還有:EG⊥CG．

解析