Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AF是⊙O的直徑，與BC交于點H，且AB=AC，點D是弧BC上的一點，連接AD、BD，且AD與BC相交于點E．
（1）求證：∠ABC=∠D；
（2）求證：AC²=AE•AD；
（3）當AB=5，BC=6時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=AC，根據等邊對等角的性質，即可得∠ABC=∠C，又由同弧對的圓周角相等，即可證得：∠ABC=∠D；
（2）由∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB（公共角），根據有兩角對應相等的三角形相似，即可得△ABE∽△ADB，根據相似三角形的對應邊成比例，易證得AB²=AE•AD，則可得AC²=AE•AD；
（3）首先連接OB，由垂徑定理即可得AH⊥BC，BH=BC，然后利用勾股定理列方程，即可求得⊙O的半徑．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D；

（2）證明：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB（公共角），
∴△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AE•AD，
∵AB=AC，
∴AC²=AE•AD；

（3）解：連接OB，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC，BH=BC=×6=3，
∴AH==4，
設OA=x，則OH=4-x，
在Rt△OBH中，OB²=OH²+BH²，
即：x²=（4-x）²+9，
解得：x=．
∴⊙O的半徑為：．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理以及勾股定理等知識．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意輔助線的作法．