Question

已知：如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB、如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：______；
（2）在圖2中，若∠D=40°，∠B=30°，試求∠P的度數(shù)；（寫出解答過程）
（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，
又∵AP、CP分別平分∠DAB和∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，
即2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．

（3）2∠P=∠B+∠D．
分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）仔細(xì)觀察圖2，不難看出它有兩個(gè)圖1構(gòu)成ADMCP，APNCB．由此，得到兩個(gè)關(guān)系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分線的性質(zhì)得∠1=∠2，∠3=∠4，兩式相減，即可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)、等量代換；難點(diǎn)在于靈活運(yùn)用各等量關(guān)系．