Question

如圖①，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A，O不重合），AP的延長(zhǎng)線交半圓O于點(diǎn)D，其中OA=4．
（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）連接OD，當(dāng)OD與半圓C相切時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設(shè)AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得AP=PD；
（2）由三角形中位線的定義證得CP是△AOD的中位線，則PC∥DO，所以根據(jù)平行線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)易求弧AP所對(duì)的圓心角∠ACP=90°；
（3）分類討論：點(diǎn)E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關(guān)系式．這兩種情況都是根據(jù)相似三角形（△APO∽△AED）的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式的．
解答：解：（1）AP=PD．理由如下：
如圖①，連接OP．
∵OA是半圓C的直徑，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；

（2）如圖①，連接PC、OD．
∵OD是半圓C的切線，
∴∠AOD=90°．
由（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC，
∴PC∥OD，
∴∠ACP=∠AOD=90°，
∴的長(zhǎng)==π；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E落在OA上（即0＜x≤2時(shí)），如圖②，連接OP，則∠APO=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△APO∽△AED，
∴=．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y，
∴=，
∴y=-x²+4（0＜x≤2）；
②當(dāng)點(diǎn)E落在線段OB上（即2＜x＜4）時(shí)，如圖③，連接OP．
同①可得，△APO∽△AED，
∴=．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，
∴=，
∴y=x²-4（2＜x＜4）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，要分類討論，以防漏解．解答幾何問題時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，使抽象的問題變得形象化，降低題的難度與梯度．