Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-3x-3與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=x²+bx+c經過A，C兩點，且與x軸交于另一點B（點B在點A右側）．
（1）求拋物線的解析式及點B坐標；
（2）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E．求ME長的最大值；
（3）試探究當ME取最大值時，在拋物線x軸下方是否存在點P，使以M，F(xiàn)，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線的解析式求出A、C兩點的坐標，然后將A、C的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．進而可根據拋物線的解析式求出B點的坐標．
（2）ME的長實際是直線BC的函數值與拋物線的函數值的差，據此可得出一個關于ME的長和F點橫坐標的函數關系式，可根據函數的性質來求出ME的最大值．
（3）根據（2）的結果可確定出F，M的坐標，要使以M，F(xiàn)，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是MP∥=BF，那么只需將M點的坐標向左或向右平移BF長個單位即可得出P點的坐標，然后將得出的P點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的P點．
解答：解：（1）當y=0時，-3x-3=0，x=-1
∴A（-1，0）
當x=0時，y=-3，
∴C（0，-3），
∴
∴，
拋物線的解析式是：y=x²-2x-3．
當y=0時，x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3
∴B（3，0）．

（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3）直線BC的解析式是：y=x-3，
設M（x，x-3）（0≤x≤3），則E（x，x²-2x-3）
∴ME=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-）²+；
∴當x=時，ME的最大值為．

（3）答：不存在．
由（2）知ME取最大值時ME=，E（，-），M（，-）
∴MF=，BF=OB-OF=．
設在拋物線x軸下方存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形，
則BP∥MF，BF∥PM．
∴P₁（0，-）或P₂（3，-）
當P₁（0，-）時，由（1）知y=x²-2x-3=-3≠-
∴P₁不在拋物線上．
當P₂（3，-）時，由（1）知y=x²-2x-3=0≠-
∴P₂不在拋物線上．
綜上所述：拋物線x軸下方不存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、平行四邊形的判定和性質等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．（2）中弄清線段ME長度的函數意義是解題的關鍵．