【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線BD⊥AD,E為CD上一點,連接AE交BD于點F,G為AF的中點,連接DG.
(1)如圖1,若DG=DF=1,BF=3,求CD的長;
(2)如圖2,連接BE,且BE=AD,∠AEB=90°,M、N分別為DG,BD上的點,且DM=BN,H為AB的中點,連接HM、HN,求證:∠MHN=∠AFB.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)由垂直的定義得到∠ADB=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DG=GF,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論;
(2)連接DH,HE,根據(jù)已知條件得到A,D,E,B四點共圓,根據(jù)圓周角定理得到∠DHE=2∠DAE,求得∠DGF=2∠DAE,推出∠GDH=∠HEG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB=∠ABD,求得∠HBN=∠HDM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BHN=∠DHM,得到∠BHD=∠MHN,等量代換即可得到結(jié)論.
(1)∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
∵G為AF的中點,
∴DG=GF,
∵DG=DF=1,
∴GF=DG=DF=1,
∴AF=2,
∵AD==,
∵BF=3,
∴BD=4,
∴AB==,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴CD=AB=;
(2)連接DH,HE,
∵AD⊥BD,AE⊥BE,
∴∠ADB=∠AEB=90°,
∵H為AB的中點,
∴DH=BH=EH=AH=AB,
∵∠ADB=∠AEB=90°,
∴A,D,E,B四點共圓,
∴∠DHE=2∠DAE,
∵AG=DG,
∴∠DGF=2∠DAE,
∴∠DGF=∠DHE,
∴∠GDH=∠HEG,
∵AD=BE,
∴∠EAB=∠ABD,
∵∠EAB=∠AEH,
∴∠HBN=∠AEH,
∴∠HBN=∠HDM,
在△HDM與△HBN中,,
∴△HDM≌△HBN(SAS),
∴∠BHN=∠DHM,
∴∠BHD=∠MHN,
∵∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF,
∠DHB=180°-∠HDB-∠HBD,
∴∠AFB=∠DHB,
∴∠MHN=∠AFB.
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【題目】如圖1所示,點P是線段AB的中點,且AB=12,現(xiàn)分別以AP,BP為邊,在AB的同側(cè)作等邊△MAP和△NBP,連結(jié)MN。
(1)請只用不含刻度的直尺在圖1中找到△MNP外接圓的圓心O,并保留作圖痕跡;
(2)若將“點P是線段AB的中點”改成“點P是線段AB上異于端點的任意一點”,其余條件不變(如圖2),請用文字寫出△MNP外接圓圓心O的位置,并求出該圓半徑的最小值.
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【題目】如圖是小強洗漱時的側(cè)面示意圖,洗漱臺(矩形ABCD)靠墻擺放,高AD=80cm,寬AB=48cm,小強身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱時下半身與地面成80°(∠FGK=80°),身體前傾成125°(∠EFG=125°),腳與洗漱臺距離GC=15cm(點D,C,G,K在同一直線上).
(1)此時小強頭部E點與地面DK相距多少?
(2)小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方,他應(yīng)向前或后退多少?
(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17, ≈1.41,結(jié)果精確到0.1cm)
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【題目】如圖是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖,靜止時秋千位于鉛垂線BD上,轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD=3m.小亮在蕩秋千過程中,當(dāng)秋千擺動到最高點A時,測得點A到BD的距離AC=2m,點A到地面的距離AE=1.8m;當(dāng)他從A處擺動到A′處時,有A'B⊥AB.
(1)求A′到BD的距離;
(2)求A′到地面的距離.
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【題目】A,C,B三地依次在一條筆直的道路上,甲、乙兩車同時分別從A,B兩地出發(fā),相向而行,甲車從A地行駛到B地就停止,乙車從B地行駛到A地后立即以相同的速度返回B地,在整個行駛的過程中,甲、乙兩車均保持勻速行駛,甲、乙兩車距C地的距離之和y(km)與甲車出發(fā)的時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則乙車第二次到達(dá)C地時,甲車距B地的距離為______km.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長為4,∠MDN=90°,將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn),其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點,DN邊與射線BC交于點F;連接EF,且EF與直線AC交于點P.
(1)如圖1,點E在線段AB上時,①求證:AE=CF;②求證:DP垂直平分EF;
(2)當(dāng)AE=1時,求PQ的長.
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【題目】一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向,距離燈塔20海里的A處,它向東航行多少海里到達(dá)燈塔P南偏西45°方向上的B處(參考數(shù)據(jù):≈1.732,結(jié)果精確到0.1)?
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【題目】如圖所示,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P是線段BC上一點(P不與B重合),M是DB上一點,且BP=DM,設(shè)BP=x,△MBP的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____.
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