Question

把兩塊完全一樣的三角板如圖1放置，其中∠BAO=∠CAO=30°，∠ABO=∠ACO=60°，B、O、C三點在同一條直線上，斜邊AB=AC=6cm，動點P由B出發(fā)，沿折線B→A→C以每秒2cm的速度向C運動，同時動點Q從C出發(fā)以每秒cm的速度向點B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設運動時間為t秒．
（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）如圖2，把△OCA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到△OC′A′，當∠COC′=∠CAO 時，求△OC′A′與△ABC重疊部分的面積；
（3）如圖3，在△OCA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜180°），設A′O所在直線與BA所在直線交點為E，是否存在點E使得△OAE為等腰三角形？若存在，直接寫出線段OE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式S△BOQ=BP•BQ•sinB即可求解；
（2）可以證得△根據(jù)S_重疊=S_△OAB-S_△OBE-S_△ADF，利用三角形的面積公式即可求解；
（3）分A是頂角頂點，則AE=OA，則E可能在線段AB上，也可能在BA的延長線上，利用三角函數(shù)即可求得OE的長度；
當E是頂角的頂點時，AE=OE，在△AOE中，∠EAO=30°，則利用三角函數(shù)即可求得OE的長；
當O是頂角的頂點時，E在AB的延長線上，利用三角函數(shù)即可求得OE的長．
解答：解：（1）當0＜t≤3時，S=（6-t）×t=-t²+3t．
當3＜t＜2時，S=（6-t）•（12-2t）=t²-（3+9）t+18；
（2）S_重疊=S_△OAB-S_△OBE-S_△ADF=×3×3-×3×-××=；
（3）在直角△AOB中，OA=AB•cos∠BAO=6×=3，
1）當A是頂角頂點時，AE=OA=3，
分兩種情況，當E在線段AB上時，OE==，
當E在射線BA上時，OE==；
2）當E是等腰三角形的頂角的頂點時，OE=AE===3；
3）當O是等腰三角形的頂角頂點時，此時E在線段AB的延長線上，OE=OA=3cm，
總之，存在點E，使得△OAE是等腰三角形，線段OE的長分別是：3或3或或．
點評：本題考查了三角形的面積公式，以及三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，正確進行討論是關(guān)鍵．