Question

已知a是實(shí)數(shù)，且a³+3a²+3a+2=0，則（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰的值是________．

Answer 1

1
分析：首先對a³+3a²+3a+2=0進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化為（a+2）（a²+a+1）=0，因而可得a+2=0或a²+a+1=0，分別針對這兩個(gè)式子根據(jù)a是實(shí)數(shù)來討論a的取值．進(jìn)而求出（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰的值．
解答：∵a³+3a²+3a+2=0?（a³+1）+（3a²+3a）+1=0?（a+1）（a²-a+1）+3a（a+1）+1=0?（a+1）（a²-a+1+3a）+1=0
?（a+1）³+1=0?（a+2）[（a+1）²+1-（a+1）]=0?（a+2）[（a+1）²-a]=0?（a+2）（a²+a+1）=0
∴a+2=0或a²+a+1=0
當(dāng)a+2=0時(shí)，即a+1=-1，則（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰=1-1+1=1
當(dāng)a²+a+1=0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，而△=1-4=-3＜0，所以a無解．
故答案為1
點(diǎn)評：本題考查因式分解．解決本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用立方和公式、完全平方式進(jìn)行因式分解，進(jìn)而確定a的值．