Question

如圖所示，拋物線與軸交于點兩點，與軸交于點以為直徑作過拋物線上一點作的切線切點為并與的切線相交于點連結(jié)并延長交于點連結(jié)

（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）若四邊形的面積為求直線的函數(shù)關(guān)系式；

（3）拋物線上是否存在點，使得四邊形的面積等于的面積？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）因為拋物線與軸交于點兩點，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：

∵拋物線與軸交于點

∴

∴

所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：

又

因此，拋物線的頂點坐標(biāo)為

（2）連結(jié)∵是的兩條切線，

∴∴

又四邊形的面積為∴∴

又∴

因此，點的坐標(biāo)為或

當(dāng)點在第二象限時，切點在第一象限.

在直角三角形中，

∴∴

過切點作垂足為點

∴

因此，切點的坐標(biāo)為

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為將的坐標(biāo)代入得

解之，得

所以，直線的函數(shù)關(guān)系式為

當(dāng)點在第三象限時，切點在第四象限.

同理可求：切點的坐標(biāo)為直線的函數(shù)關(guān)系式為

因此，直線的函數(shù)關(guān)系式為

或

（3）若四邊形的面積等于的面積

又

∴

∴兩點到軸的距離相等，

∵與相切，∴點與點在軸同側(cè)，

∴切線與軸平行，

此時切線的函數(shù)關(guān)系式為或

當(dāng)時，由得，

當(dāng)時，由得，

故滿足條件的點的位置有4個，分別是