Question

已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運(yùn)動(dòng)．
運(yùn)動(dòng)一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，DE與AC相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)；
運(yùn)動(dòng)二：在運(yùn)動(dòng)一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點(diǎn)Q，CB與DE交于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)Q在DF上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)QC⊥DF時(shí)暫停旋轉(zhuǎn)；
運(yùn)動(dòng)三：在運(yùn)動(dòng)二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點(diǎn)F勻速運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)為止．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），中間的暫停不計(jì)時(shí)，
解答下列問題
（1）在RT△ABC從運(yùn)動(dòng)一到最后運(yùn)動(dòng)三結(jié)束時(shí)，整個(gè)過程共耗時(shí)______s；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm²），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，點(diǎn)Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得，
運(yùn)動(dòng)一：
∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，
∴EC=4cm，
∴運(yùn)動(dòng)一所用時(shí)間為：4÷1=4（秒），
運(yùn)動(dòng)二：
∵當(dāng)QC⊥DF時(shí)暫停旋轉(zhuǎn)，
∵CD=CF，
∴DQ=QF=2cm
∴運(yùn)動(dòng)二所用時(shí)間為：2=2（秒），
運(yùn)動(dòng)三：
∵CF=4cm，
∴運(yùn)動(dòng)三所用的時(shí)間為：4÷1=4（秒），
∴整個(gè)過程共耗時(shí)4+2+4=10（秒）；
故答案為：10；

（2）運(yùn)動(dòng)一：如圖2，
設(shè)EC為tcm，則CQ為tcm，
∴S_△ECQ=×t×t，
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t²（0≤t≤4），
運(yùn)動(dòng)二：如圖3，
連接CD，在△ECP和△DCQ中，
∵
∴△ECP≌△DCQ（ASA），
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=8（4＜t＜6），
運(yùn)動(dòng)三：如圖4，
四邊形QDPC為矩形，
∴CF=4-（t-6）=10-t，
EC=8-CF=t-2，
∴S_矩形QDPC=（t-2）×（10-t），
=t²+6t-10；
S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t²+6t-10（6≤t≤10）；

（3）存在點(diǎn)Q，理由如下：
如圖5，運(yùn)動(dòng)一：
∵點(diǎn)Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，
∴AQ=QB，
∴AC-CQ=，
又∵AC=16cm，BC=12cm，
解得，CQ=3.5cm，
∵∠DEF=45°，
∴EC=3.5cm，
此時(shí)，t為：3.5÷1=3.5秒．
如圖6，運(yùn)動(dòng)二：
同理：CQ=3.5，
過點(diǎn)C作CM⊥DF交DF于點(diǎn)M，CM=2，
在Rt△QCM中，QM==，
∴DQ=2-，
∴t=（2-）÷+4=6-；
運(yùn)動(dòng)三時(shí)，CQ最大為2＜3.5，
所以無解．
綜上，t=3.5或6-時(shí)，點(diǎn)Q正好在線段AB的中垂線上．
分析：（1）運(yùn)動(dòng)一，停止時(shí)，EC=4cm，用時(shí)為：4÷1=4秒；運(yùn)動(dòng)二，停止時(shí)，DQ=2cm，用時(shí)為：2÷=2秒；運(yùn)動(dòng)三，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，CF=4cm，用時(shí)為：4÷1=4秒；綜上，總用時(shí)為：4+2+4=10（秒）；
（2）運(yùn)動(dòng)一，RT△ABC與RT△DEF的重疊部分為直角△QCE的面積，表示出即可；運(yùn)動(dòng)二，連接CD，可得∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC與RT△DEF的重疊部分不變：y=8（4＜t＜6）；運(yùn)動(dòng)三，四邊形QDPC為矩形，CF=4-（t-6）=10-t，EC=8-CF=t-2，所以，S_矩形QDPC=（t-2）×（10-t）=t²+6t-10；
（3）點(diǎn)Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，可得AQ=QB，所以，AC-CQ=，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由∠DEF=45°，所以，EC=3.5cm，解答出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線、旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)等，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解；（3）中要確定點(diǎn)Q的位置，是解答的關(guān)鍵．