Question

如圖，已知梯形ABCD，AB∥DC，∠A=90°，DC=7cm，AB=13cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t=3時(shí)，求tan∠CPQ的值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積為21cm²．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)C作CM⊥AB于M，得出四邊形ADCM是矩形，求出DC=AM=7，AD=CM=8，求出BM，根據(jù)勾股定理求出BC即可；
（2）先推出△CPQ是直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可；
（3）畫(huà)出符合條件的三種情況，求出BP和高，根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可．
解答：解：（1）如圖1，過(guò)C作CM⊥AB于M，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠CMB=90°，
∴AD∥CM，
∵DC∥AB，
∴四邊形ADCM是矩形，
∴DC=AM=7，AD=CM=8，
∴MB=13-7=6，
在Rt△CMB中，由勾股定理得：BC==10；

（2）如圖2，過(guò)Q作QN⊥AB于N，
∵AM=7，AP=3，
∴PM=4，
∵CM=8，
在Rt△CPM中，由勾股定理得：CP²=4²+8²=80，
∵CM⊥AB，QN⊥AB，
∴CM∥QN，
∴△BNQ∽△BMC，
∴==，
∵CM=8，BQ=2×3=6，BC=10，BM=6，
∴QN=4.8，BN=3.6，
∴PN=13-3-BN=6.4，
在Rt△PNQ中，由勾股定理得：PQ²=4.8²+6.4²=64，
∵CQ²=4²=16，PC²=80，
∴PQ²+CQ²=PC²，
∴∠PQC=90°，
∴tan∠CPQ===；

（3）分為三種情況：①如圖3，當(dāng)Q在BC上時(shí)，過(guò)Q作QN⊥AB于N，
∵△BNQ∽△BMC，
∴=，
∴=，
∴QN=1.6t，
∵△PBQ的面積為21cm²，
∴BP×QN=21，
∴（13-t）•1.6t=21，
解得：t=，t=10.5，
∵Q在BC上，時(shí)間0＜t≤（0＜t≤5），
∴t=10.5（舍去），
即t=；
②如圖4，
當(dāng)Q在DC上時(shí)，過(guò)Q作QN⊥AB于N，
QN=CM=8，
∵△PBQ的面積為21cm²，
∴BP×QN=21，
∴（13-t）•8=21，
解得：t=，
∵Q在BC上，時(shí)間＜t≤（5＜t≤8.5），
∴此時(shí)t的值符合，
即t=；
③如圖5，
當(dāng)Q在AD上時(shí)，AQ=8+7+10-2t=25-2t，
∵△PBQ的面積為21cm²，
∴BP×AQ=21，
∴（13-t）•（25-2t）=21，
解得：t=16，t=
∵Q在AD上，時(shí)間＜t＜（8.5＜t＜12.5），
∴t=16舍去，
即t=；
綜合上述：當(dāng)t的值是s或s或s時(shí)，△PBQ的面積為21cm²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，第（2）和（3）問(wèn)難度偏大，注意第（3）問(wèn)要進(jìn)行分類討論�。�