Question

（2013•黃埔區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4，P為AB上一點，過點P作⊙O的弦CD，設(shè)∠BCD=m∠ACD．
（1）已知

1

m

=

2

m+2

，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度數(shù)各是多少？
（2）在（1）的條件下，且

AP

PB

=

1

2

，求弦CD的長；
（3）當

AP

PB

=

2- 3

2+ 3

時，是否存在正實數(shù)m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出m的值，進而由∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD求出即可；
（2）根據(jù)已知得出AD，BD的長，再利用△APC∽△DPB得出AC•DP=AP•DB=

4

3

×2

3

=

8 3

3

①，PC•DP=AP•BP=

2

3

×

8

3

=

16

9

②，同理△CPB∽△APD，得出BC•DP=BP•AD=

8

3

×2=

16

3

③，進而得出AC，BC與DP的關(guān)系，進而利用勾股定理得出DP的長，即可得出PC，DC的長；
（3）由

AP

PB

=

2- 3

2+ 3

，AB=4，則

AP

4-AP

=

2- 3

2+ 3

，得出(2+

3

)AP=4(2-

3

)-(2-

3

)AP，要使CD最短，則CD⊥AB于P于是cos∠POD=

OP

OD

=

3

2

，
即可得出∠POD的度數(shù)，進而得出∠BCD，∠ACD的度數(shù)，即可得出m的值．

解答：解：（1）如圖1，
由

1

m

=

2

m+2

，
得 m=2，
連結(jié)AD、BD
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°
又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD
∴∠ACD=30°，∠BCD=60°；
                 
（2）如圖1，連結(jié)AD、BD，則∠ABD=∠ACD=30°，AB=4
∴AD=2，BD=2

3

，
∵

AP

PB

=

1

2

，
∴AP=

4

3

，BP=

8

3

，
∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD
∴△APC∽△DPB
∴

AC

DB

=

AP

DP

=

PC

BP

，
∴AC•DP=AP•DB=

4

3

×2

3

=

8 3

3

①，
PC•DP=AP•BP=

2

3

×

8

3

=

16

9

②
同理△CPB∽△APD
∴

BP

DP

=

BC

AD

，
∴BC•DP=BP•AD=

8

3

×2=

16

3

③，
由①得AC=

8 3

3DP

，由③得BC=

16

3DP

，
AC：BC=

8 3

3

：

16

3

=

3

2

，
在△ABC中，AB=4，
∴(

8 3

3DP

)2+(

16

3DP

)2=42，
∴DP=

2 7

3

由②PC•DP=PC•

2 7

3

=

16

9

，
得PC=

8 7

21

∴DC=CP+PD=

8 7

21

+

2 7

3

=

22 7

21

；

方法二：由①÷③得AC：BC=

8 3

3

：

16

3

=

3

2

，
在△ABC中，AB=4，AC=

4 7

7

×

3

=

4 21

7

，
BC=

4 7

7

×2=

8 7

7

由③BC•DP=

8 7

7

•DP=

16

3

，
得DP=

2 7

3

由②PC•DP=PC•

2 7

3

=

16

9

，
得PC=

8 7

21

∴DC=CP+PD=

8 7

21

+

2 7

3

=

22 7

21

；

（3）如圖2，連結(jié)OD，由

AP

PB

=

2- 3

2+ 3

，AB=4，
則

AP

4-AP

=

2- 3

2+ 3

，
則(2+

3

)AP=4(2-

3

)-(2-

3

)AP，
則AP=2-

3

，
OP=2-AP=

3

要使CD最短，則CD⊥AB于P
于是cos∠POD=

OP

OD

=

3

2

，
∵∠POD=30°
∴∠ACD=15°，∠BCD=75°
∴m=5，故存在這樣的m值，且m=5．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系和圓周角定理等知識，熟練利用圓周角定理以及垂徑定理得出是解題關(guān)鍵．