Question

7．玩具加工廠預計生產(chǎn)甲、乙兩種玩具產(chǎn)品共50件，已知生產(chǎn)一件甲種玩具需要A種原料3個，B種原料6個，可獲利80元；生產(chǎn)一件乙種玩具需要A種原料5個，B種原料5個，可獲利100元，已知玩具加工廠現(xiàn)有A種原料220個，B種原料267個，假設生產(chǎn)甲種玩具x個，共獲利y元．
（1）請問有幾種方案符合生產(chǎn)玩具的要求；
（2）請你寫出y與x之間的函數(shù)關系，并用函數(shù)的知識來設計一個方案使得獲利最大，最大利潤是多少元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“生產(chǎn)甲玩具時A原料總數(shù)量+生產(chǎn)乙玩具時A原料總數(shù)量≤220、生產(chǎn)甲玩具時B原料總數(shù)量+生產(chǎn)甲玩具時B原料總數(shù)量≤267”列出不等式組，解不等式組可得方案；
（2）根據(jù)“總利潤=生產(chǎn)甲玩具的總利潤+生產(chǎn)乙玩具的總利潤”，列出函數(shù)關系式，結合（1）中x的范圍和函數(shù)性質可知獲利最大的方案．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，生產(chǎn)甲種玩具x個，則乙玩具有（50-x）個，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+5（50-x）≤220}\\{6x+5（50-x）≤267}\end{array}\right.$，
解得：15≤x≤17，
∵x為整數(shù)，
∴x可取15，16，17，
則有如下3中方案符合要求：
①甲玩具15件，乙玩具35件；
②甲玩具16件，乙玩具34件；
③甲玩具17件，乙玩具33件．
（2）根據(jù)題意，y=80x+100（50-x）=-20x+5000，
∵-20＜0，
∴y隨x的增大而減小，
又∵15≤x≤17，
∴當x=15時，獲利最大，最大利潤y=-20×15+5000=4700元，
即生產(chǎn)甲玩具15件，乙玩具35件時獲利最大，最大利潤為4700元．

點評 本題主要考查不等式組的應用和一次函數(shù)的應用能力，根據(jù)題意找到不等關系和相等關系是解題的關鍵．