Question

如圖，以BC為直徑作Rt△ABC的外接圓，圓心為點(diǎn)P，在△ABC的同側(cè)又作正方形BCEF，BE、CF交于點(diǎn)為O，連接AO．
（1）求證：點(diǎn)O在⊙P上且∠BAO=135°；
（2）如果AB=2，AO=4

2

，求BO及AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OP．根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理的推論進(jìn)行求解；
（2）過(guò)O作OK⊥BA延長(zhǎng)線于K．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算．

解答：（1）證明：連接OP．
∵四邊形BCEF是正方形，
∴BE⊥CF，OB=OC．
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴OP=

1

2

BC．
∵BC是圓的直徑，
∴點(diǎn)O在圓上．
∴∠BAO=90°+45°=135°．

（2）解：過(guò)O作OK⊥BA延長(zhǎng)線于K．
∵AO=4

2

，
∴∠BAO=135°，
∴∠OAK=45°，
∴AK=OK=4．
根據(jù)勾股定理，得
BO=2

13

，
∴AC=10．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．