Question

若方程x²-2|x|+3=k有四個互不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________．

Answer 1

2＜k＜3
分析：解方程x²-2|x|+3=k，根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值可化為兩個方程，原方程有四個不同的解，則得到的兩個一元二次方程都有兩個不同的解，根據(jù)△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．
解答：整理方程：x²-2|x|+3-k=0，△=b²-4ac=4-4（3-k）=-8+4k＞0，∴k＞2
當(dāng)x≥0時，方程可化為：x²-2x+3-k=0，
∵△=b²-4ac=4-4（3-k）=-8+4k＞0，
∴k＞2
方程的兩個實根是正數(shù)則3-k＞0
∴k＜3．
則2＜k＜3
當(dāng)x＜0時，方程可化為：x²+2x+3-k=0，
同理可得：2＜k＜3
∴綜上所求，使方程有四個不相等的根，2＜k＜3．
點評：總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．