Question

（1）已知：點(diǎn)（x，y）在直線y=-x+1上，且x²+y²=2，求x⁷+y⁷的值．
（2）計(jì)算：

2007

( 2007 - 2008 )( 2007 - 2009 )

+

2008

( 2008 - 2009 )( 2008 - 2007 )

+

2009

( 2009 - 2008 )( 2009 - 2007 )

（3）已知a、b、c是直角三角形△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊，∠C=90°．求：

1

a+b+c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

+

1

c-a-b

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)（x，y）在直線y=-x+1上，得出x+y=1，進(jìn)而求出xy的值，再利用因式分解法求出x⁷+y⁷的值；
（2）首先設(shè)

2007

=x，

2008

=y，

2009

=z，再替換后整理得出即可；
（3）將原式分組進(jìn)行計(jì)算，再利用三角形三邊關(guān)系求出即可．

解答：解：（1）∵x2+y2=2?1=(x+y)2=x2+y2+2xy=2+2xy?xy=-

1

2

，
∴x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=1-3×(-

1

2

)=

5

2

x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=4-2(-

1

2

)2=

7

2

，
∴x7+y7=(x3+y3)(x4+y4)-x3y3(x+y)=

5

2

×

7

2

-(-

1

2

)3×1=

71

8

；

（2）設(shè)

2007

=x，

2008

=y，

2009

=z，
則原式=

x

(x-y)(x-z)

+

y

(y-x)(y-z)

+

z

(z-x)(z-y)

=

x(y-z)-y(x-z)+z(x-y)

(x-y)(y-z)(x-z)

=0；

（3）原式=(

1

a+b+c

+

1

c-a-b

)+(

1

b+c-a

+

1

c+a-b

)=

2c

c2-(a+b)2

+

2c

c2-(a-b)2

=

2c

c2-a2-b2-2ab

+

2c

c2-a2-b2+2ab

=

c

-ab

+

c

ab

=0．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征以及因式分解的應(yīng)用和換元法解方程等知識(shí)，根據(jù)已知選擇正確的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．