Question

正方形ABCD和正方形CEFG，M為AF的中點，連接MD、ME．
（1）如圖，B、C、G依次在同一條直線上，求證：△MDE等腰直角三角形；



（2）如圖，正方形CEFG繞頂點C旋轉(zhuǎn)45°，使B、C、F依次在同一條直線上，則△MDE的形狀是______；



（3）如圖，將正方形CEFG任意旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠DCE=α°，猜想△MDE的形狀，寫出你的結(jié)論并給予證明．

Answer 1

（1）延長DM交EF于H點



∵正方形ABCD和正方形CEFG，M為AF的中點，
∴∠DAM=∠HFM，AM=MF，∠AMD=∠FMH．
∴△MAD≌△MFH．
∴DM=MH，AD=FH．
∴ED=EH，△DEH為等腰直角三角形，
∴△MDE為等腰直角三角形；

（2）△MDE為等腰直角三角形．



（3）如圖，延長DM到H使DM=MH，連接EH，延長FH于DC的延長線交于點N．
易證△ADM≌△FHM，∴AD=FH=CD．
∵∠DCE+∠NCG=90°，∠EFH+∠NFG=90°，
∴∠DCE=∠EFH．
∴△DCE≌△FHE．
∴DE=EH，∠DEC=∠FEH，∠DEH=90°．
∵DM=EM，
∴△MDE為等腰直角三角形．