Question

如圖，平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，在直線AD上截取AF=2FD，連接EF，EF交AC于G．求AG：AC．

Answer 1

分析：本題分兩種情況討論：
（1）F在線段AD上，如圖1，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得

AF

FD

=

AH

HC

=2，且 

AF

AD

=

FH

DC

=

2

3

，可得AH=2HC，F(xiàn)H=

2

3

CD，AE=

1

2

AB=

1

2

CD，則可得

AG

GH

=

AE

FH

，代入整理，可得

AG

GH

=

3

4

，GH=

4

3

AG，所以可得AH=2HC，AG=

6

7

HC，即可得出；
（2）F在AD的延長線上，如圖2；在△AFH中，

AD

DF

=

AC

CH

=

1

1

且

AD

AF

=

CD

FH

=

1

2

，則AC=CH，F(xiàn)H=2CD，又由FH∥AB，可得

AG

GH

=

AE

FH

=

1 2 CD

2CD

=

1

4

，即GH=4AG，所以AH=AG+GH=5AG=2AC，即可得出．

解答：解：有兩種情況：
第一種情況：F在線段AD上，如圖1，
過點F作FH∥DC，交AC于點H，
∵AF=2FD，
∴在△ADC中，

AF

FD

=

AH

HC

=2，且 

AF

AD

=

FH

DC

=

2

3

，
∴AH=2HC…①，FH=

2

3

CD…②，
∵AE=

1

2

AB=

1

2

CD…③，
又∵平行四邊形ABCD，AB∥CD且AB=CD，
∴FH∥AB，
∴

AG

GH

=

AE

FH

…④，
②③代入④得

AG

GH

=

3

4

，
∴GH=

4

3

AG，
∴AH=AG+GH=

7

3

AG=2HC，
∴AG=

6

7

HC，
∵AC=AH+HC=3HC，
∴AG：AC=

2

7

；

第二種情況：F在AD的延長線上，如圖（2），
過點F作FH∥DC，交AC的延長線于點H，
∵AF=2FD
∴在△AFH中，

AD

DF

=

AC

CH

=

1

1

且

AD

AF

=

CD

FH

=

1

2

，
∴AC=CH，F(xiàn)H=2CD，
∵AE=

1

2

AB=

1

2

CD，
又∵FH∥AB，
∴

AG

GH

=

AE

FH

=

1 2 CD

2CD

=

1

4

，
∴GH=4AG，
∴AH=AG+GH=5AG=2AC，
∴AG=

2

5

AC，
∴AG：AC=

2

5

．

點評：本題主要考查了平分線分線段成比例定理和平行線四邊形的性質，考查了學生對平行線分線段成比例定理的理解和綜合應用能力．