Question

已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連接DE，設M為DE的中點．
（1）說明：MB=MC；
（2）設∠BAD=∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點A在平面內旋轉到圖乙的位置，試問：MB=MC是否還能成立？并證明其結論．

Answer 1

證明：（1）作點M作MP⊥AB于點P，
∵∠ABD=∠ACE=90°．
∴MP∥CE∥BD．
∵M為DE的中點，
∴CP=BP，
∴MP是BC的中垂線，
∴MB=MC；

（2）MB=MC成立．
取AD、AE的中點F、G，連接BF、MF、MG、CG顯然線段MG、MF都是△ADE的中位線，
∴四邊形MFAG是平行四邊形，MG=

1

2

AD，MF=

1

2

AE，
∴∠MFA=∠AGM，
又∵∠DBA=∠ACE=90°，
∴Rt△斜邊中線BF=

1

2

AD=MG，
CG=

1

2

AE=MF，
∵∠DAB=∠CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
∴∠BFA=2∠BDA=2∠CEA=∠CGA，
∴∠BFM=∠BFA-∠MFA=∠CGA-∠AGM=∠MGC，
∴△BFM≌△MGC，
∴MB=MC．