Question

如圖，點(diǎn)O是等邊三角形△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=a，以O(shè)C為一邊作等邊△OCD，連接AD．
（1）當(dāng)a=150°，證明：△AOD是直角三角形；
（2）當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是以DA、DO為腰的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）通過等邊三角形△ABC、△OCD的三條邊相等、三個(gè)內(nèi)角都是60°、全等三角形的判定定理SAS證得△BOC≌△ADC；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、圖形中的角與角間的數(shù)量關(guān)系推知∠ADO=90°；
（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°．
∵∠BCO+∠OCA=∠ACD+∠OCA，
∴∠BCO=∠ACD．
又∵△OCD是等邊三角形，
∴OC=DC，∠ODC=60°，
在△BOC和△ADC中，
∵

BC=AC ∠BCO=∠ACD OC=DC

，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC=∠ADC=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∴△AOD是直角三角形；

（2）∵設(shè)∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
則a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，
∴b-d=10°，
∴（60°-a）-d=10°，
∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°-α=50°，
∴α=140°．
所以當(dāng)α為110°、125°、140°時(shí)，三角形AOD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，注意充分利用隱藏于題中的已知條件--周角是360°．