Question

已知關于x的方程x²-（m+5）x+3（m+2）=0．
（1）求證：無論m取何實數值，方程總有兩個實數根；
（2）如果Rt△ABC的斜邊長為5，兩條直角邊長恰好是這個方程的兩個根．求△ABC的面積．

Answer 1

（1）證明：∵△=（m+5）²-12（m+2）
=m²+10m+25-12m-24=m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴此方程總有兩個實數根．

（2）解：設Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b．
根據題意，得
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+5）²-6（m+2）=m²+4m+13=25．
∴m²+4m-12=0．
解得m₁=2，m₂=-6（不符合題意，舍去）．
∴ab=12．
∴S_△ABC=．
分析：（1）要證明方程總有兩個實數根只要證明方程的判別式是非負數即可求解；
（2）設Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b，首先利用根與系數的關系可以得到關于a、b的方程組，然后利用勾股定理也可以的關于a、b的方程，聯立解之即可求解．
點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數的關系，首先利用判別式解決第一問，然后利用根與系數的關系和勾股定理得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可解決問題．