Question

22、已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．試說明：PM=PN．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及已知條件證得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的對應(yīng)角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性質(zhì)和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等推知PM=PN．

解答：解：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），
∠ABD=∠CBD（角平分線的性質(zhì)），
BD=BD（公共邊），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的對應(yīng)角相等）；
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°；
又∵PD=PD（公共邊），
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴PM=PN（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．由已知證明△ABD≌△CBD是解決的關(guān)鍵．