Question

請閱讀下面材料：

若， 是拋物線（a ≠ 0）上不同的兩點，證明直線 為此拋物線的對稱軸.

有一種方法證明如下：

① ②

證明：∵ ，是拋物線（a ≠ 0）上不同的兩點，        

      ∴         且 ≠. 

  ①-②得 .

   ∴ .

 ∴ .

 又∵ 拋物線（a ≠ 0）的對稱軸為，

 ∴ 直線為此拋物線的對稱軸.

 （1）反之，如果， 是拋物線（a ≠ 0）上不同的

兩點，直線 為該拋物線的對稱軸，那么自變量取，時函數(shù)值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；

  （2）利用以上結論解答下面問題：

已知二次函數(shù) 當x = 4 時的函數(shù)值與x = 2007 時的函數(shù)值相等，求x = 2012時的函數(shù)值.

Answer 1

解：（1）結論：自變量取，時函數(shù)值相等．

            證明：∵ ，為拋物線上不同的兩點，

① ②

               由題意得         且≠．

           ①-②，得 .

                ∵ 直線是拋物線（a ≠ 0）的對稱軸，

                ∴ .

                ∴ .

             ∴ ，即

（閱卷說明：其他代數(shù)證明方法相應給分；直接利用拋物線的對稱性而

沒有用代數(shù)方法進行證明的不給分）

  （2）∵ 二次函數(shù)當x = 4 時的函數(shù)值與x = 2007 時的函數(shù)值相等，

       ∴ 由閱讀材料可知二次函數(shù)的對稱軸為直線.

       ∴ ，.

       ∴ 二次函數(shù)的解析式為.

       ∵ ，

由（1）知，當x = 2012的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等.

∵ 當x =時的函數(shù)值為，

       ∴ 當x = 2012 時的函數(shù)值為2011.