Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P，且⊙O₁過點(diǎn)O₂，PB是⊙O₂的直徑，A為⊙O₂上的點(diǎn)，連接AB，過O₁作O₁C⊥BA于C，連接CO₂．已知PA=，PB=4．
（1）求證：BA是⊙O₁的切線；
（2）求∠BCO₂的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得O₁C⊥BA，證得O₁C為半徑即可；
（2）應(yīng)把∠BCO₂進(jìn)行轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移到已求得的線段的比值．
解答：（1）證明：∵PB是⊙O₂的直徑，A為⊙O₂上的點(diǎn)，
∴∠PAB=90°．
又∵O₁C⊥BA，
∴△PAB∽△O₁CB．
∵PA=，PB=4，
∴0₁C=1．
∴O₁C是⊙O₁的半徑，
∵O₁C⊥BA于C，
∴BA是⊙O₁的切線．

（2）解：BC==，
連接PC；
∵∠B=∠B，∠BCO₂=∠BPC，
∴△BPC∽△BCO₂，
∴O₂C：CP=BO₂：BC=2：=tanBPC=tanBCO₂，
（在Rt△PCO₂中，tanBPC=O₂C：CP）
∴tanBCO₂=．
點(diǎn)評(píng)：證得直線為切線的條件：到圓心的距離等于半徑，與半徑垂直；要求的三角函數(shù)值需轉(zhuǎn)移到已知的線段的比．