Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：
設(shè)∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上．
活動(dòng)一：
如圖甲所示，從點(diǎn)A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒．
數(shù)學(xué)思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：

 

．（填“能“或“不能”）
（2）設(shè)AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=

 

度；
②若記小棒A_2n-1A_2n的長度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…），求出此時(shí)a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）．

活動(dòng)二：
如圖乙所示，從點(diǎn)A₁開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第1根小棒，且A₁A₂=AA₁．
數(shù)學(xué)思考：
（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則θ₁=

 

，θ₂=

 

，θ₃=

 

（用含θ的式子表示）；
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端分別落在兩射線上，從而判斷出能繼續(xù)擺下去．
（2）本題需先根據(jù)已知條件AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，得出A₂A₃和AA₃的值，判斷出A₁A₂∥A₃A₄、A₃A₄∥A₅A₆，即可求出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A，從而此時(shí)a₂，a₃的值和出a_n．
（3）本題需先根據(jù)A₁A₂=AA₁，得出∠A₁AA₂和∠AA₂A₁相等，即可得出θ₁的值，同樣道理得出θ₂、θ₃的值．
（4）本題需先根據(jù)已知條件，列出不等式，解出θ的取值范圍，即可得出正確答案．

解答：解：（1）∵根據(jù)已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端能分別落在兩射線上，
∴小棒能繼續(xù)擺下去．
故答案為：能；

（2）①∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
∴∠AA₂A₁+∠θ=45°，
∵∠AA₂A₁=∠θ，
∴∠θ=22.5°；

②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

又∵A₂A₃⊥A₃A₄
A₁A₂∥A₃A₄
同理；A₃A₄∥A₅A₆
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a₂+

2

a₂=(

2

+1)2
∴a_n=(

2

+1)n-1；

（3）∵A₁A₂=AA₁
∴∠A₁AA₂=∠AA₂A₁=θ
∴∠A₂A₁A₃=θ₁=θ+θ
∴θ₁=2θ
同理可得：θ₂=3θ
θ₃=4θ；

（4）如圖：

∵A₄A₃=A₄A₅，
∴∠A₄A₃A₅=∠A₄A₅A₃=4θ°，
∵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，
當(dāng)∠A₅A₄B是鈍角或直角時(shí)，不能繼續(xù)擺放小棒了，
∴當(dāng)∠A₄A₃A₅是銳角，∠A₅A₄B=5θ是鈍角或直角時(shí)，只能擺放4根小棒，
∴5θ≥90°，4θ＜90°，
即

5θ≥90° 4θ＜90°

，
∴18°≤θ＜22.5°．
故答案為：能，22.5°，2θ，3θ，4θ．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，在解題時(shí)要注意根據(jù)題意找出規(guī)律并與相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．